Lämpö 1

Hint

Nollas pääsääntö: Eristetyssä systeemissä lämpötilaerot tasoittuvat.

1. Pääsääntö: Systeemin sisäenergian muutos on ΔU= Q + W , jossa Q on systeemiin tai systeemistä siirtyvä lämpö ja W on systeemiin tehty tai systeemin tekemä työ.
2.  Pääsääntö: Termodynaamisissa prosesseissa entropia kasvaa.
3. Pääsääntö: Absoluuttista nollapistettä ei voida saavuttaa.

Hint

1) Kylläisen höyryn paineella tarkoitetaan sellaisen höyryn (eli höyrystyneen nesteen) painetta, jossa on ilmatilavuutta kohti niin paljon höyryä kuin mahdollista. Käytännössä kylläistä höyryä voidaan valmistaa lämmittämällä nestettä suljetussa astiassa, josta höyry ei pääse leviämään ympäristöön.
2) Nesteen sisäinen höyrynpaine kuvaa nesteen höyrystymispyrkimystä, ja se on aina yhtä suuri kuin nesteen pinnan yläpuolelle muodostuneen kylläisen höyryn paine.
3) Kiehuminen on höyrystymisen erikoistapaus, jossa nesteen sisäinen höyrynpaine on yhtä suuri kuin ulkoinen paine. Tällöin höyryä muodostuu kaikkialla nesteessä.
4) Haihtumisella tarkoitetaan nesteen höyrystymistä aineen pinnalta.
5) Kastepisteellä tarkoitetaan lämpötilaa, jossa kylläinen vesihöyry alkaa tiivistyä.

Hint

\(p_0=101\, 325~Pa\qquad \rho=1,0\cdot10^{3}~kg/m^3\)

\(p=p_0+\rho g h\)

\(h=\frac{p_0}{\rho g}=\frac{101\,325~Pa}{1,0\cdot10^{3}~kg/m^3\cdot 9,81~m/s^2}=10,3287~m\approx 10,3~m\)

Hint

\(h=30~m\qquad p_{i}=101325~Pa\)

Kokonaispaine muodostuu ilmanpaineesta ja veden hydrostaattisesta paineesta:

\(p=p_{i}+p_{h}=p_{i}+\rho gh=101325~Pa+1000~kg/m^{3}\cdot9,81~m/s^{2}\cdot30~m=395625~Pa\approx4~bar\)

Vastaus: Kokonaispaine on 4 bar

Hint

Muunnellaan yksikköä Pa sopivaksi.

\(p_{i}=101325~Pa=101325~\frac{N}{m^{2}}=10,1325~\frac{N}{cm^{2}}\)

Vastaus: Ilmanpaine vastaa 10 N painoa neliösenttimetriä kohti.

Hint

Lämpöpumpulle pätee (huomaa, että kyseessä on juuri lämpöpumppu eikä lämpövoimakone tai jäähdytyskone)

\(\eta=\frac{T_{1}}{T_{1}-T_{2}}=\frac{298.15\:K}{298,15\:K-263,15\:K}=8,51857…\approx9\)
(pakkanen celsiusasteina yhden merkitsevän numeron tarkkuudella)

Vastaus: 9

Hint

\(p_{1}V_{1}=p_{2}V_{2}\Rightarrow\)

\(V_{2}=\frac{p_{1}V_{1}}{p_{2}}=\frac{101325~Pa\cdot6,0~l}{101325~Pa+1000~kg/m^{3}\cdot9,81~m/s^{2}\cdot20~m}=2,043…~l\approx2~l\)

Vastaus: 2 l

Hint

\(Q=cm\Delta T=1,01~\frac{kJ}{kgK}\cdot24\cdot60\cdot8,0\cdot10^{-3}~m^{3}\cdot1,29~kg/m^{3}\cdot27~K=405,25…~kJ\approx400~kJ\)

Vastaus: 400 kJ

Hint

\( p_1=101,325~kPa\qquad t_1=15~^\circ C\qquad p_2=122~kPa \)

Koska kaasun tilavuus pysyy vakiona, voidaan lämpötila laskea Charlesin lain avulla:

\( \frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}\)

\( T_2=\frac{p_{2}T_{1}}{p_{1}}=\frac{122~kPa\cdot(273,15+15)~K}{101,325~kPa}=346,946~K\approx74~^\circ C\)

Lämpötila on 74 °C.

Hint

\( p_{0a}=101,325\cdot10^3 ~Pa\qquad p_{0b}=870\cdot10^2 ~Pa\qquad \rho=1\,027~kg/m^3\qquad\)

\( h=110~m \)

Lasketaan ensin kokonaispaine ilmanpaineen ollessa normaali:

\( p_{a}=p_{0a}+\rho gh=101,325\cdot 10^3 Pa+1\,027~kg/m^3 \cdot9,81~m/s^2\cdot110~m \)

\(=1,2096\cdot10^6~Pa \)

Lasketaan myös kokonaispaine ilmanpaineen ollessa alhaisimmassa arvossaan:

\(  p_{b}=p_{0b}+\rho gh=870\cdot 10^2 Pa+1\,027~kg/m^3 \cdot9,81~m/s^2\cdot110~m\)

\(=1,1952\cdot10^6~Pa\)

Kokonaispaineen muutos prosenteissa on

\( \frac{p_{a}-p_{b}}{p_{a}}=\frac{1,2096\cdot10^6~Pa-1,1952\cdot10^6~Pa}{1,2096\cdot10^6~Pa}=0,011905\approx1,2~\%\)

Kokonaispaine laskee 1,2 %.

Hint

Hint

Olkoon p1 varpaaseen kohdistuva paine pinta-alaltaan pienemmällä korolla ja p2
vastaavasti varpaaseen kohdistuva paine pinta-alaltaan suuremmalla korolla.
Voima on sama molemmissa tilanteissa. Tällöin paineiden suhde:

\(\frac{p_{1}}{p2}=\frac{\frac{F}{A_{1}}}{\frac{F}{A_{2}}}=\frac{A_{2}}{A_{1}}=\frac{0,00092m^{2}}{0,00015m^{2}}=6,13333…\approx 6,1\)

Pojan varvas murtuu, jos korkokengän koron alla oleva paine ylittää paineen, jonka varvas kestää. Tytön tallatessa pojan varpaan, paine tytön korkokengän koron alla:

\(p=\frac{F}{A}=\frac{54kg\ast 9,81\frac{m}{s^{2}}}{0,00015m^{2}}=3,5316\ast 10^{6}Pa\) eli varvas murtuu.

Hint

Ilmanpaineen taskussa tulee olla yhtä suuri kuin veden hydrostaattisen paineen ph
ja ulkoilman paineen p0=1005mbar=1,005bar=100500Pa summa:

\( p_{ilma}=p_{0}+p_{h}=p_{0}+\rho hg=100500 Pa +1000\frac{kg}{m^{3}}\ast 9,81\frac{m}{s^{2}}\ast 27m=365370Pa\approx 3,7\ast 10^{5}=0,37MPa \)

Hint

Mittanauha lyhenee lämpötilan laskiessa. Näin ollen puupalkki, jonka pituudeksi
mitattiin pakkasessa tuo 12,000 m, onkin todellisuudessa lyhempi. Puupalkin pituutta
vastaavan mittanauhanpätkän pituus lämpötilassa, jossa mittanauha näyttää
oikein, on siis l=12,000m. Olkoon \(l_{0}\) puupalikan todellinen pituus. Tällöin saadaan:

\( l=l_{0}+\Delta l=l_{0}+\alpha l_{0}\Delta T=l_{0}(1+\alpha \Delta T)\rightarrow l_{0}=\frac{l}{(1+\alpha \Delta T)}=\frac{12,000m}{1+12,000\ast 10^{-6}\frac{1}{K}\ast 36,000K}=11,99481…m\approx 11,995m \)

Hint

Kaasujen tilanyhtälöstä saadaan:

\( \frac{p_{1}V_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2}V_{2}}{T_{2}}\rightarrow \frac{p_{1}V_{1}}{T_{1}}=\frac{2p_{1}\ast 2V_{1}}{T_{2}}\rightarrow T_{2}=4T_{1}=4\ast 300,15K=1200,6K\approx 1200K \)

tai celsiusasteina \(T_{2}=1200,6K= 927,45 ^{\circ}C\approx 930^{\circ}C\)

Tällöin tiheys:

\( pV=nRT\rightarrow pV=\frac{m}{M}RT\leftrightarrow pM=\rho RT\leftrightarrow \rho =\frac{pM}{RT}=\frac{2p_{1}M}{RT_{2}}=\frac{2\ast 2,0\ast 101325Pa\ast 4,0026\ast 10^{-3}\frac{kg}{mol}}{8,31\frac{J}{molK}\ast 1200,6K}=0,162…\frac{kg}{m^{3}}\approx 0,16\frac{kg}{m^{3}} \)

Hint

Vesihöyryä “mahtuu” ilmaan sitä enemmän, mitä korkeampi on lämpötila. Tällöin
lämpötilan laskiessa osa ilmassa olevasta vesihöyrystä tiivistyy vedeksi. Lasketaan
siis, kuinka paljon ilmassa on aluksi vesihöyryä, ja kuinka paljon vesihöyryä ilmaan
mahtuu lopputilanteessa. Näiden erotuksena saadaan tiivistyneen vesihöyryn
määrä.
Muunnetaan aluksi paineet pascaleiksi:

\( 355,1mmHg:p=13600\frac{kg}{m^{3}}\ast 9,81\frac{m}{s^{2}}\ast 355,1\ast 10^{-3}m=47376,02…Pa \)

\( 18,15mmHg:p=13600\frac{kg}{m^{3}}\ast 9,81\frac{m}{s^{2}}\ast 18,15\ast 10^{-3}m=2421,50…Pa \)

Alussa vesihöyryn osapaine ilmassa on 76 % kylläisen vesihöyryn paineesta;
lopputilanteessa ilmassa on vesihöyryä niin paljon kuin siihen mahtuu, jolloin
vesihöyryn osapaine ilmassa vastaa kylläisen höyryn painetta ko.
lämpötilassa. Ilmassa olevan vesihöyryn massa saadaan kaasujen
tilanyhtälöstä.
Vesihöyryn määrä alkutilanteessa:

\(p_{1}V=n_{1}RT_{1}\leftrightarrow m_{1}=\frac{p_{1}VM}{RT_{1}}=\frac{0,76\ast 47376,02…Pa\ast 3,4m^{3}\ast (2\ast 1,0079+15,999)\ast 10^{-3}\frac{kg}{m^{3}}}{8,31\frac{J}{molK}\ast 353,15K}=0,7514…kg\)

Ja lopputilanteessa:

\(p_{2}V=n_{2}RT_{2}\leftrightarrow m_{2}=\frac{p_{2}VM}{RT_{2}}=\frac{2421,5…Pa\ast 3,4m^{3}\ast (2\ast 1,0079+15,999)\ast 10^{-3}\frac{kg}{m^{3}}}{8,31\frac{J}{molK}\ast 295,15K}=0,0604…kg\)

Tällöin vesihöyryä tiivistyy: \(\Delta m=0,751…kg-0,0604…kg=0,6910…kg\approx 690g\)

Hint

Lämpöpumpun maksimitehokerroin: \( \eta =\frac{Q_{1}}{W}=\frac{Q_{1}}{Q_{1}-Q_{2}}=\frac{T_{1}}{T_{1}-T_{2}}=\frac{323,15K}{323,15K-268,15K}=5,875… \)

Tällöin todellinen tehokerroin on \( 0,60\ast 5,875…=3,525…\approx 3,5 \)